Question

【题目】学以致用：问题1：怎样用长为的铁丝围成一个面积最大的矩形？

小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为的正方形时面积最大为．请用你所学的二次函数的知识解释原因．

思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为且周长最小的矩形？

小明猜测：围成正方形时周长最小．

为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料：

结论：在、均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值．

均为正实数）的证明过程：

对于任意正实数、，,,

，当且仅当时，等号成立。

解决问题：

（1）若，则　　（当且仅当　　时取“” ；

（2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测；

（3）当时，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）4，2；（2）见解析；（3）2

【解析】

（1）根据题意，由，当且仅当时，等号成立；即可解决问题；

（2）设矩形的长、宽分别为x、y，由题意得xy=9，再根据公式证明当x=y时，x+y有最小值，进而得结论；

（3）把转化为的形式，再根据公式进行解答便可．

解：（1），

∴，

∴当时，即时，

∴，即；

故答案为：4；2．

（2）设矩形的长、宽分别为m、m，由题意得，则

，即，

当时，取最小值为6，

此时矩形的周长最小为：；

时，矩形变为正方形，

∴铁丝围一个面积为且周长最小的矩形，所围成正方形时周长最小；

（3），

，

，，

，即，

当时，即时，

取最小值为：．