Question

已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆半径和△ABC的外心与内心之间的距离分别为

1. A.
   5和
2. B.
   和
3. C.
   和
4. D.
   和

Answer 1

B
分析：首先运用勾股定理求出斜边AB=5cm，因为直角三角形的外心是斜边的中点，则外接圆的半径是斜边的一半，即为cm．直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为r=（a，b为两直角边，c为斜边）可求的r．再运用勾股定理求外心与内心之间的距离即可．
解答： 解：（1）∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=5cm（勾股定理）．
∴△ABC的外接圆半径长R==cm；
（2）连接ID，IE，IF，
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠CDI=∠CEI=∠C=90°，
又∵DI=EI，
∴四边形CDIE是正方形．
∴CD=CE=DI=IE；
∵AC=3cm，BC=4cm，由（1）知AB=5cm，
∴△ABC的内切圆半径长r=，
=
=1cm．
即DI=EI=FI=1cm；
∴CD=1cm．
∵BC=4cm，
∴BD=3cm．
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴BD=BF=3cm．
∵BO=cm，
∴OF=cm．
在Rt△IFO中，IO=cm（勾股定理）．
∴△ABC的外心与内心之间的距离为cm．
故选C．
点评：本题考查了三角形的外心和内心的性质．直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径是斜边的一半；直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为r=（a，b为两直角边，c为斜边）．