Question

如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为，则弦AC、BD所夹的锐角α为________．

Answer 1

90°
分析：作OE⊥AB于E，OF⊥DC于F，连结OA、OB、OC、OD、BC，根据垂径定理得BE=AB=，CF=DC=，在利用正弦的定义可分别求出∠3=60°，∠4=30°，则根据等腰三角形的性质得∠AOB=2∠3=120°，∠COD=2∠4=60°，然后根据圆周角定理得∠2=60°，∠1=30°，最后利用三角形外角性质求解．
解答：解：作OE⊥AB于E，OF⊥DC于F，连结OA、OB、OC、OD、BC，如图，
则AE=BE=AB=，CF=DF=DC=，
在Rt△BOE中，BE=，OB=1，
∴sin∠3=，
∴∠3=60°，
在Rt△OCF中，CF=，OC=1，
∴sin∠4=，
∴∠4=30°，
∵OA=OB，OC=OD，
∴∠AOB=2∠3=120°，∠COD=2∠4=60°，
∴∠2=∠AOB=60°，∠1=∠COD=30°
∴∠α=∠1+∠2=90°．
故答案为90°．
点评：考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和特殊角的三角函数值．