Question

如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先，需要证明线段BB_n就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；
（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△ABB_n∽△AON，求出线段BB_n的长度，即点B运动的路径长．
解答：解：由题意可知，OM=，点N在直线y=-x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=OM=×=．
如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B，动点P在N点（起点）时，点B的位置为B_n，连接BB_n．
∵AO⊥AB，AN⊥AB_n，∴∠OAC=∠BAB_n，
又∵AB=AO•tan30°，AB_n=AN•tan30°，∴AB：AO=AB_n：AN=tan30°，
∴△ABB_n∽△AON，且相似比为tan30°，
∴BB_n=ON•tan30°=×=．
现在来证明线段BB_n就是点B运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B_i，连接AP，AB_i，BB_i．
∵AO⊥AB，AP⊥AB_i，∴∠OAP=∠BAB_i，
又∵AB=AO•tan30°，AB_i=AP•tan30°，∴AB：AO=AB_i：AP，
∴△ABB_i∽△AOP，∴∠ABB_i=∠AOP．
又∵△ABB_n∽△AON，∴∠ABB_n=∠AOP，
∴∠ABB_i=∠ABB_n，
∴点B_i在线段BB_n上，即线段BB_n就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段BB_n，其长度为．
故答案为：．
点评：本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．