Question

如图，一次函数y=kx+n的图象分别交x轴、y轴与A、C两点．且C点的坐标为（0，3），OC=3OA，直线MN经过点（-1，0）且与x轴垂直，
（1）求一次函数的解析式；
（2）将y=kx+n向下平移m个单位，设平移后的直线与y轴交于点D，与直线MN交于点E．
①当m=

10

3

时，判断四边形ADEC的形状，说明理由；
②四边形ADEC能否为菱形？若能，直接写出移动的单位长度．

Answer 1

分析：（1）先根据C点的坐标为（0，3），OC=3OA求出A点坐标，把AC两点的坐标代入一次函数y=kx+n即可得出k、n的值，故可得出一次函数的解析式；
（2）①根据平移的性质得出m=

10

3

时直线的解析式，求出DE两点的坐标，进而可得出结论；
②设直线移动m个单位长度四边形ADEC为菱形，再用m表示出E点坐标，根据菱形的性质即可得出结论．

解答：解：（1）∵C点的坐标为（0，3），OC=3OA，
∴A（1，0），
∵

n=3 k+n=0

，
解得

n=3 k=-3

．
∴一次函数的解析式为：y=-3x+3；

（2）①∵一次函数的解析式为y=-3x+3，
∴向下平移

10

3

个单位时的解析式为y=-3x-

1

3

，
∴D（0，-

1

3

），E（-1，

8

3

），
∵直线DE由直线AC平移而来，
∵AC∥DE，
∵AC²=OA²+OC²=1²+3²=10，DE²=1²+（-

1

3

-

8

3

）²=10，
∴AC=DE，
∴四边形ADEC是平行四边形；
②能．
设直线移动m个单位长度四边形ADEC为菱形，
∵一次函数的解析式为：y=-3x+3，
∴移动后直线的解析式为y=-3x+3-m，
∵平移后的直线与y轴交于点D，与直线MN交于点E，
∴D（0，3-m），E（-1，6-m），
∵∵直线DE由直线AC平移而来，
∵AC∥DE，
∵AC²=OA²+OC²=1²+3²=10，DE²=1²+（3-m-6+m）²=10，
∴AC=DE，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∵四边形ADEC为菱形，
∴CE=AC，即CE²=AC²=10，
∵C（0，3），E（-1，6-m），
∴CE²=1²+（3-6+m）²=10，解得m=6或m=0，
∴当直线向下或向上移动6个单位时，四边形ADEC为菱形．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到平行四边形及菱形的判定与性质，综合性较强，难度适中．