Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，tan∠ADC＝2.

（1）求证：DC＝BC；
（2）E是梯形内一点，连接DE、CE，将△DCE绕点C顺时针旋转90°，得△BCF，连接EF.判断EF与CE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当CE＝2BE，∠BEC＝135°时，求cos∠BFE的值.

Answer 1

（1）证明见解析（2）EF＝CE.证明见解析（3）

（1）证明：作AP⊥DC于点P.
∵AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴四边形APCB是矩形，………………………………1分
∴PC＝AB＝2，AP＝BC＝4.
在Rt△ADP中，tan∠ADC＝ 即＝2，
∴DP＝2，
∴DC＝DP＋PC＝4＝BC.…………………………3分
（2）EF＝CE.………………………4分
证明如下：
由△DCE绕点C顺时针旋转90°得△BCF，
∴CF＝CE，∠ECF＝90°，
∴EF＝.  …………………………6分
（3）由（2）得∠CEF＝45°.
∵∠BEC＝135°，
∴∠BEF＝90°.        ………………………………7分
设BE＝a，则CE＝2a，由EF＝CE，则EF＝
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF＝3a，
∴COS∠BFE＝.      ……………………10分
（1）如图，过A作AP⊥DC于点P，由AB∥CD可以得到∠ABC=90°，然后得到四边形APCB是矩形，接着利用已知条件可以求出PC=AB=2，AP=BC=4，又在Rt△ADP中，根据tan∠ADC＝可以求出DP=2，接着得到DC=4，由此即可解决问题；
（2）EF=CE．由△DCE绕点C顺时针旋转90°得△BCF，根据旋转的性质得到CF=CE，∠ECF=90°，然后利用勾股定理即可求出EF；
（3）由（2）得∠CEF=45°，而∠BEC=135°，由此得到∠BEF=90°．设BE=a，则CE=2a，由EF=CE，则EF=2a．在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF=3a，然后根据余弦的定义即可求解．