Question

1．已知关于x的二次函数y=x²-2（m-1）x-m（m+2）．
（1）试说明：该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点间的距离|x₁-x₂|=6，且与y轴交于负半轴，试求其解析式．

Answer 1

分析 （1）根据△=b²-4ac的值与0的大小情况，可判断抛物线与x轴交点情况；
（2）由韦达定理知x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=-m（m+2），又|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=6，可得关于m的方程，进而得到m的值，确定解析式．

解答 解：（1）令x²-2（m-1）x-m（m-2）=0，
∵△=4（m-1）²+4m（m+2）=8m²+4＞0，
∴方程x²-2（m-1）x-m（m-2）=0总有两个不相等的实数根，
即该抛物线与x轴总有两个交点．
（2）设该抛物线与x轴的两交点坐标为（x₁，0），（x₂，0），
由题意得：|x₁-x₂|=6，
∵x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=-m（m+2），
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{4（m-1）^{2}+4m（m+2）}$=$\sqrt{8{m}^{2}+4}$=6，
解得：m₁=2，m₂=-2，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴-m（m+2）＜0，
∴m=2，
∴其解析式为：y=x²-2x-8．

点评 本题主要考查二次函数图象与x轴交点情况的确定、韦达定理的应用能力，属中档题．