题目内容

如图，直线y=-
4
3
x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（-1，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；
（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒
3
2
个单位长度的速度沿折线OAC按O?A?C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O?C?A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动．设D、E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S，请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
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分析：（1）根据题意易得AC的坐标，结合B的坐标，将三点代入解析式方程，可得abc的值，进而可得解析式；
（2）将解析式化为顶点式，易得M的坐标，过点M作MF⊥x轴于F，将四边形AOCM分割成三角形，分别求出其面积再求和可得四边形AOCM的面积；
（3）根据题意得D，E两点相遇的时间，根据题意分三种情况讨论，依次分析可得答案．
解答：精英家教网解：（1）令x=0，则y=4；
令y=0则x=3．
∴A（3，0），C（0，4）
∵二次函数的图象过点C（0，4），
∴可设二次函数的关系式为y=ax2+bx+4
又∵该函数图象过点A（3，0），B（-1，0），
∴
0=9a+3b+4
0=a-b+4
，
解得a=-
4
3
，b=
8
3
，
∴所求二次函数的关系式为y=-
4
3
x2+
8
3
x+4．（3分）

（2）∵y=-
4
3
x2+
8
3
x+4
=-
4
3
(x-1)2+
16
3

∴顶点M的坐标为(1，
16
3
)．（4分）
过点M作MF⊥x轴于F，
∴S四边形AOCM=S△AFM+S梯形FOCM=
1
2
×(3-1)×
16
3
+
1
2
×(4+
16
3
)×1=10，
∴四边形AOCM的面积为10．（7分）

（3）根据题意得D，E两点相遇的时间为
3+4+5
3
2
+4
=
24
11
（秒）现分情况讨论如下：
ⅰ）当0＜t≤1秒时，S=
1
2
×
3
2
t•4t=3t2；（8分）
ⅱ）当1＜t≤2秒时，
∴S=
1
2
×
3
2
t×
36-16t
5
=-
12
5
t2+
27
5
t（10分）
ⅲ）当2＜t＜
24
11
秒时，
∴S=S△AOE-S△AOD=
1
2
×3×
36-16t
5
-
1
2
×3×
6t-12
5

=-
33
5
t+
72
5
．（12分）
点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
12、如图，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1=43°，则∠2=
133
度．
如图，直线y=kx+4与x、y轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO=
43
，过点A的抛物线交y轴与点C，且OA=OC，并以直线x=2为对称轴，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求直线AB与抛物线的解析式；
（2）是否存在以点P为圆心的圆与直线AB及x轴都相切？若存在，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由．
（3）连接OP并延长到Q点，使得PQ=OP，过点Q分别作QE⊥x轴于E，QF⊥y轴于F，设点P的横坐标为x，矩形OEQF的周长为y，求y与x的函数关系．
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20、如图，直线AB∥CD，EF⊥AB，垂足为O，FG与CD相交于H，若∠1=43°，则∠2=
133
度．
精英家教网如图，直线AB与⊙O相切于点C，弦EF∥AB交OC于H，D是⊙O上一点，连接DE、DC、OF．
（1）若∠EDC=30°，则∠COF=
 
度；
（2）若EF=4
3
，CH=2，求⊙O的半径．
精英家教网已知如图，直线y=-
3
x+4
3
与x轴相交于点A，与直线y=
3
3
x相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求S△OPA的值；
（3）动点E从原点O出发，沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B．设运动t秒时，F的坐标为（a，0），矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．求：S与a之间的函数关系式．

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