Question

如图，已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，点P是AB边上的一个动点(P与A、B不重合)，连结PC，过P作PO∥AC交BC于Q点．

(1)如果a、b满足关系式a²＋b²－12a－16b＋100＝0，c是不等式组的最大整数解，试说明△ABC的形状．

(2)设AP＝x，S_△PCQ＝y，试求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围．

(3)根据(2)所求得的函数关系式计算：当AP取多长时，△PCQ的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵a2＋b2－12a－16b＋100＝0． 　　即(a－6)2＋(b－8)2＝0 　　∴a＝6，b＝8． 　　解不等式组 　　 　　得　　＜x＜11． 　　∴其最大整数解是x＝10，即c＝10． 　　由于a2＋b2＝62＋82＝100＝102＝c2， 　　∴△ABC是直角三角形． 　　(2)由(1)得： 　　S△ABC＝ab＝×6×8＝24． 　　由三角形的面积公式可得： 　　＝， 　　即　　＝． 　　∴S△PBC＝(10－x)． 　　∵PQ∥AC，∴＝． 　　∴＝＝＝， 　　∴S△PCQ＝·(10－x) 　　＝－x2＋x， 　　即　　y＝－x2＋x． 　　其中，自变量x的取值范围是 　　0＜x＜10． 　　(3)当x＝－＝5， 　　y最大＝＝6． 　　即当AP取5时，△PCQ的面积最大，最大面积为6．

提示：

本题是一道代数、几何综合题． 　　(1)利用已知中条件可求出a、b、c的值，从而可判断△ABC的形状． 　　(2)求y与x的函数关系是一种常见题型，利用几何知识写出y与x的关系式，化简即可． 　　(3)即求(2)小问中函数的最值．