题目内容

如图，二次函数 $数学公式$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接PC，设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形，直接写出所有满足条件的M点的坐标．

解：（1）令y=0，则- $\text{[math]}$ x²+2=0，
解得x₁=-2，x₂=2，
所以，点A（-2，0），B（2，0），
令x=0，则y=2，
所以，点C的坐标是（0，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
所以，直线AC的解析式为y=x+2；

（2）①点P在OA上，即0＜t＜2时，
∵点P、Q的速度都是每秒1个单位，
∴OP=2-t，OQ=t，
∴△PQC的面积S= $\text{[math]}$ t（2-t）=- $\text{[math]}$ t²+t，
②点P在OB上，即2＜t≤4时，
∵点P、Q的速度都是每秒1个单位，
∴OP=t-2，OQ=t，
∴△PQC的面积S= $\text{[math]}$ t（t-2）= $\text{[math]}$ t²-t，
∴S= $\text{[math]}$ ；

（3）∵A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
∴OA=OB=OC=2，
根据勾股定理，AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
如图，①点M为坐标原点（0，0）时，AC、BC为底边，
②AC、BC为底边时，若OM=OC=2，则点M（0，-2），
若CM=AC=2 $\text{[math]}$ ，则OM=CM-OC=2 $\text{[math]}$ -2，
此时点M（0，2-2 $\text{[math]}$ ），
或OM=CM+OC=2 $\text{[math]}$ +2，
此时点M（0，2+2 $\text{[math]}$ ），
所以，点M的坐标为（0，0）或（0，-2）或（0，2-2 $\text{[math]}$ ）或（0，2+2 $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据二次函数解析式求出点A、B、C的坐标，然后设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）分点P在OA上与OB上两种情况分别表示出OP、CQ的长度，再根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（3）根据勾股定理列式求出AC的长度，再分AC、BC是底边与腰讨论求解即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，等腰三角形的性质，（2）要分两段求解并且t的值不能取2，（3）要分情况讨论，作出图形更形象直观．