Question

已知抛物线y=-ax²+2ax+b与x轴的一个交点为A（-1，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴公式，对称轴x=-

2a

2(-a)

=1，根据抛物线的对称性，A（-1，0）、B两点关于对称轴的对称，可推出B点坐标；
（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，△ABC为直角三角形，已知OA=1，OB=3，由△AOC∽△COB，利用相似比可求OC，即C点坐标，设抛物线解析式的交点式，将C点坐标代入即可．

解答：解：（1）根据抛物线的对称轴公式及抛物线的对称性可知，
对称轴为直线x=1，B（3，0）；

（2）连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴

CO

AO

=

BO

CO

，即

CO

1

=

3

CO

解得CO=

3

，即C（0，

3

）
设过A（-1，0），B（3，0）两点的抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）
将C（0，

3

）代入得-3a=

3

，a=-

3

3

∴y=-

3

3

（x+1）（x-3），
即y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

．

点评：本题考查了抛物线对称轴公式，抛物线对称性的运用，待定系数法求抛物线解析式的方法．综合运用了圆的对称性，直角三角形中的相似三角形的问题．