Question

已知抛物线y=ax+bx+c与y轴交于A(0,3)，与x轴分别交于B(1,0)、C(5, 0)两点．      

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若一个动点P自OA的中点M出发先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

Answer 1

解：(1) 根据题意，c = 3，

所以    

所以，抛物线解析式为y =

(2)如图，由题意，可得M(0，)，点M关于x轴的对称点为M’(0，一)点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A’(6，3)，连结A’ M’, 根据轴对称性及两点间线段最短可知，A’M’的长就是所求点P运动的最短总路径的长

所以A’M’与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点

可求得直线A’M的解析式为y=

可得E点坐标为(2，0)，F点坐标为(3，)

由勾股定理可求出A’M’=

所以点P运动的最短总路径(ME+EF+FA)的长为