Question

2．已知x²-2015x+1=0，
（1）求x-$\frac{1}{x}$（x＞1）的值；
（2）$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$+$\frac{2015x}{{x}^{2}+1}$的值．

Answer 1

分析 （1）先把等式两边除以x得到x+$\frac{1}{x}$=2015，再利用完全平方公式变形得x-$\frac{1}{x}$=$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}-4}$，然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用分式的性质和整体代入的方法得到原式=$\frac{1}{{x}^{2}+1+\frac{1}{{x}^{2}}}$+$\frac{2015x}{2015x}$，再利用完全平方公式变形得到$\frac{1}{（x+\frac{1}{x}）^{2}-1}$+1，然后再利用整体代入的方法计算．

解答 解：（1）∵x²-2015x+1=0，
∴x-2015+$\frac{1}{x}$=0，
∴x+$\frac{1}{x}$=2015，
∴x-$\frac{1}{x}$=$\sqrt{（x-\frac{1}{x}）^{2}}$（x＞1）
=$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}-4}$
=$\sqrt{201{5}^{2}-4}$
=$\sqrt{4060221}$；
（2）原式=$\frac{1}{{x}^{2}+1+\frac{1}{{x}^{2}}}$+$\frac{2015x}{2015x}$
=$\frac{1}{（x+\frac{1}{x}）^{2}-1}$+1
=$\frac{1}{201{5}^{2}-1}$+1
=1$\frac{1}{4060224}$．

点评 本题考查了分式的化简求值：把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．