Question

如图，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过A作AF⊥AE，交CB延长线于点F．AE的延长线交BC的延长线于点G．
（1）求证：AE=AF．
（2）若AF=7，DE=2，求EG的长．

Answer 1

（1）证明：正方形ABCD中，∠BAD=90°，AD=AB，
∵AF⊥AE，
∴∠FAB+∠BAE=90°
∵∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠DAE，
∵在△ABF与△ADE中．
，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴AE=AF；

（2）解：在Rt△ABF中，
∵∠FBA=90°，AF=7，BF=DE=2
∴AB==3，
∴EC=DC-DE=3-2，
∵∠D=∠ECG=90°，∠DEA=∠CEG，
∴△ADE∽△GCE，
∴=，
∴EG=-7．
分析：（1）首先利用余角的性质证明∠FAB=∠DAE，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ADE，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，则EC的长度即可求得，易证△ADE∽△GCE，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
点评：本题考查全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确证明△ABF≌△ADE是关键．