Question

如图①，已知△ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G点．
（1）则CG、PM、PN三者之间的数量关系是

 

；
（2）如图②，若点P在BC的延长线上，则PM、PN、CG三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；
（3）如图③，AC是正方形ABCD的对角线，AE=AB，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，猜想PM、PN、AC有什么关系；（直接写出结论）

Answer 1

分析：（1）过P作PH垂直CG于H，可通过证明△PNC≌△PHC得出CG=GH+HC=PM+PN．
（2）过C作CH垂直MP于H，可通过证明△PNC≌△PHC得出PM=CG+PN．
（3）令点P和点B重合可轻易得出猜想．

解答：
解：（1）方法一：过P作PH垂直CG于H，
∵PM⊥AB，CG⊥AB，
∴∠AMP=∠MGH=∠PHG=90°，
∴四边形MPHG是矩形，
∴PM=GH，PH∥AB，
∴∠HPC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠HPC=∠NCP，
又∵PH⊥CG，PN⊥AC，
∴∠PHC=∠CNP=90°，
∴△PHC≌△CNP，
∴CH=PN，
∴CG=GH+HC=PM+PN．

方法二：PM+PN=CG．
连接AP，则△ABC被分成△APB与△APC，
则△ABC的面积=△APB的面积+△APC的面积，
即

1

2

×AC×CG=

1

2

×AB×PM+

1

2

×AC×PN，
∵AB=AC，
∴PM+PN=CG；


（2）过C作CH垂直MP于H，
∠HPC+∠ABC=90°∠NPC+∠PCN=90
∵∠ABC=∠ACB=∠PCN
∴∠HPC=∠NPC
又PH⊥CG，PN⊥AC
∴△PNC≌△PHC?PM=CG+PN．

（3）猜想PM+PN=

1

2

AC（令点P与点B重合）

点评：本题主要考查通过全等三角形转化线段从而得出线段之间的关系，在第三问中关键在于选取点P的位置与点B重合，可很容易的得出正确的猜想．