Question

如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：
①∠AEF=∠BCE；   ②S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE；
③AF+BC＞CF；     ④若

BC

CD

=

3

2

，则△CEF≌△CDF．
其中正确的结论是

 

．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,矩形的性质

专题：

分析：延长CB，FE交于点G，易证∠AEF=∠BCE，可得①正确；
即可证明△AEF≌△BEG，可得AF=BG，EF=EG，即可求得S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE，可得②正确；
可得AF+BC=CF，即可得③错误；
易证∠BCE=30°，即可证明△CEF≌△CDF，可得④正确，即可解题．

解答：解：延长CB，FE交于点G，

∵∠AEF+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AEF=∠BCE，①正确；
在△AEF和△BEG中，

∠FAE=∠GBE=90° AE=BE ∠AEF=∠BEG

，
∴△AEF≌△BEG（ASA），
∴AF=BG，EF=EG，
∵CE⊥EG，
∴S_△CEG=S_△CEF，CG=CF，
∴S_△CEF=S_△EAF+S_△CBE，②正确；
∴AF+BC=BG+BC=CG=CF，③错误；
∵

BC

CD

=

3

2

，
∴∠BCE=30°，∴∠FCE=∠FCD=30°，
在△CEF和△CDF中，

∠D=∠FEC=90° ∠DCF=∠ECF CF=CF

，
∴△CEF≌△CDF（AAS），④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△BEG和△CEF≌△CDF是解题的关键．