Question

【题目】如图，AD是△ABC的中线，过点C作直线CF∥AD．

（问题）如图①，过点D作直线DG∥AB交直线CF于点E，连结AE，求证：AB＝DE．

（探究）如图②，在线段AD上任取一点P，过点P作直线PG∥AB交直线CF于点E，连结AE、BP，探究四边形ABPE是哪类特殊四边形并加以证明．

（应用）在探究的条件下，设PE交AC于点M．若点P是AD的中点，且△APM的面积为1，直接写出四边形ABPE的面积．

Answer 1

【答案】【问题】：详见解析；【探究】：四边形ABPE是平行四边形，理由详见解析；【应用】：8.

【解析】

（1）先根据平行线的性质和等量代换得出∠1＝∠3，再利用中线性质得到BD＝DC，证明△ABD≌△EDC，从而证明AB＝DE（2）方法一：过点D作DN∥PE交直线CF于点N，由平行线性质得出四边形PDNE是平行四边形，从而得到四边形ABPE是平行四边形.方法二: 延长BP交直线CF于点N，根据平行线的性质结合等量代换证明△ABP≌△EPN，

从而证明四边形ABPE是平行四边形（3）延长BP交CF于H，根据平行四边形的性质结合三角形的面积公式求解即可.

证明：如图①

是的中线，

（或证明四边形ABDE是平行四边形，从而得到）

【探究】

四边形ABPE是平行四边形．

方法一：如图②，

证明：过点D作交直线于点，

∴四边形是平行四边形，

∵由问题结论可得

∴四边形是平行四边形．

方法二：如图③，

证明：延长BP交直线CF于点N，

∵是的中线，

∴四边形是平行四边形．

【应用】

如图④，延长BP交CF于H．

由上面可知，四边形是平行四边形，

∴四边形APHE是平行四边形，

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