Question

如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）如图2，P点坐标为（2，-3），在反比例函数y=的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点E、F均是反比例函数y=上的点，四边形AOBC是矩形，
∴AE⊥y轴，BC⊥x轴，
∴S_△AOE=S_△BOF=；

（2）∵C坐标为（4，3），
∴设E（，3），F（4，），
如图1，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的G点，作EH⊥OB，垂足为H，
∵∠EGH+∠HEG=90°∠EGH+∠FGB=90°，
∴∠HEG=∠FGB，
又∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴△EGH∽△GFB，
∴=，
∴GB==，
在Rt△GBF中，GF²=GB²+BF²，即（3-）²=（）²+（）²，
解得k=，
∴反比例函数的解析式为：y=；

（3）存在．
当OP是平行四边形的边时，如图2所示：
平行四边形OPMN，可以看成线段PN沿PO的方向平移至OM处所得．
设M（a，），
∵P（2，-3）的对应点O（0，0），
∴N（a-2，+3），
代入反比例解析式得：（a-2）（+3）=，
整理得4a²-8a-7=0，
解得a=，
当a=时，==，
-2=，+3=，
∴M（，），N（，）或M（，）N（，）．
当OP为对角线时，如图3所示：
设M（a，），N（b，），
∵P（2，-3），
∴，解得，，
∴M（，），N（，）或M（，），N（，），
综上所述，M（，），N（，）或M（，）N（，）；M（，），N（，）或M（，），N（，）．
分析：（1）直接根据反比例函数系数k的几何意义进行证明即可；
（2）作出折叠后的草图，根据反比例函数解析式表示出点EF的坐标，过点E作EH⊥OB，可得△EGH∽△GFB，根据相似三角形的对应边成比例列式整理，然后在△GFB中利用勾股定理计算即可求出k值；
（3）利用反比例函数解析式设出点M的坐标，然后把平行四边形OPMN看作是边PN沿PO方向平移至OM处得到的，根据点P与点O对应关系，由点M的坐标表示出点N的坐标，然后再代入函数解析式，计算即可求解．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义、图形反折变换的性质及平行四边形的性质，涉及面较广，难度较大．