Question

如图1，在边长为2的等边△ABC中，⊙A与BC相切于点D，阴影部分的面积记作S₁；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S₂，则S₁与S₂的大小关系是（　　）

• A、S₁＞S₂
• B、S₁＜S₂
• C、S₁=S₂
• D、无法确定

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：由⊙A与BC相切于点D，根据切线的性质得AD⊥BC，则利用等边三角形的性质得BD=CD=1，AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=30°，于是可计算出AD=

3

BD=

3

，利用旋转可把阴影部分合成△ABD，所以S₁=S_△ABD=

3

2

；如图2，利用旋转，可把阴影部分合成最大圆的

1

4

，则根据圆的面积公式得到S₂=

1

4

S_大圆=

π

4

，然后比较大小即可．

解答：解：如图1，∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，
∵△ABC为等边三角形，
∴BD=CD=1，AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴AD=

3

BD=

3

，
∴S₁=S_△ABD=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
如图2，S₂=

1

4

S_大圆=

1

4

•π•1²=

π

4

，

3

2

=

2 3

4

＞

π

4

，
∴S₁＞S₂．
故选A．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．把几个不规则的图形利用旋转得到一个规则的图形是解决此题的关键．