Question

如图，AB=5cm是⊙O的直径，弦BC=3cm．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q从A点出发以1cm/s沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t（s），当△APQ是直角三角形时，t=

20

13

或

25

14

．

Answer 1

分析：应分两种情况进行讨论：①当PQ⊥AC时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ABC，可将时间t求出；当PQ⊥AB时，△APQ为直角三角形，根据△APQ∽△ACB，可将时间t求出．

解答：解：如图，∵AB是直径，
∴∠C=90°．
又∵AB=5cm，BC=3cm，
∴根据勾股定理得到AC=

AB2-BC2

=4cm．
则AP=（5-2t）cm，AQ=t．
∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，
∴0＜t≤2.5．
①如图1，当PQ⊥AC时，PQ∥BC，则
△APQ∽△ABC．
故

AQ

AC

=

AP

AB

，即

t

4

=

5-2t

5

，解得t=

20

13

．
②如图2，当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB，则

AP

AC

=

AQ

AB

，即

5-2t

4

=

t

5

，
解得t=

25

14

．
综上所述，当t=

20

13

s或t=

25

14

时，△APQ为直角三角形．
故答案是：

20

13

或

25

14

．

点评：本题考查圆周角定理、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力．在求时间t时应分情况进行讨论，防止漏解．