Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若D点在此抛物线上，且AD∥CB，在x轴上是否存在点E，使得以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，问在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，-2），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=x²-x-2；

（2）设D点坐标为（x，y），E点坐标为（a，0）
∵AD∥CB，
∴两直线的斜率相等，
∴k_AD=k_BC，
∴==，
∴y+1=x，
又∵点D在抛物线上，
∴y=x²-x-2，
联立两式解得D点的坐标为（5，3），
连接AC，AC=，BC=2，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ACB是直角三角形，
①若Rt△ACB∽RtEDA，如图1所示，
∵AD∥AC，
∴∠DAB=∠ABC，
∵Rt△ACB∽RtEDA，
∴==，
∴==，
当a=5时，等式成立，
∴当E点坐标为（5，0）时，Rt△ACB∽RtAED；
②若Rt△ACB∽RtADE，如图2所示，
同理可知=，即=，
解得a=，
∴AE=，根据勾股定理求出DE=，
检验：==，
∴存在E点坐标（，0）使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，
综上这样的点有两个，分别是（5，0），（，0）；

（3）由（1）（2）可知：AB=5，D点坐标为（5，3），C点坐标为（0，-2），
假设存在P点（x，y）使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等，
S_{四边形ACBD}=S_△ABD+S_△ACB=×5×3+×5×2=，
S_△APD=×AD×h=，解得h=，
∴P到直线AD的距离为，
直线AD的解析式为y=x+，
P点到直线AD的距离d==，
又知y=x²-x-2，
解得x=
∴这样的P点存在，坐标为（，）、（，）．
分析：（1）根据y=ax²+bx+c经过点A（-1，0），B（4，0）和点C（0，-2）三点，列出三元一次方程组，解出a、b和c即可；
（2）设D点坐标为（x，y），E点坐标为（a，0），根据AD∥BC，两直线斜率相等，列式求出D点的坐标，再证明出△ABC是直角三角形，然后分类讨论：①当∠E是直角时，两三角形相似，根据比例关系求出E点的坐标，②当∠D是直角时，两三角形相似，根据比例关系求出E点的坐标．
（3）假设存在P点（x，y）使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等，根据S_{四边形ACBD}=S_△ABD+S_△ACB=S_△ABP列式求出y的值，然后验证P点坐标是否存在．
点评：本题考查了二次函数、三角形相似、平行线的性质、直线斜率等知识点，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答（2）问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．