Question

23、如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△DFE；
（2）（A类）连接CE，当BE平分∠ABC时，求证：CE⊥BF；
（B类）连接CE，当CE平分∠BCD时，求证：CE⊥BF．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可得内错角相等；又由点E是AD的中点，易证得△ABE≌△DFE（SAS）；
（2）A类：由△ABE≌△DFE，易得BF平分∠ABC，继而得到△BCF是等腰三角形，根据三线合一，证得CE⊥BF；
B类：由△ABE≌△DFE与CE平分∠BCD可证得CF=2CD，BC=2CD，继而可得△BCF是等腰三角形，根据三线合一，证得CE⊥BF．

解答：（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD=∠FDE，
又∵点E是AD的中点，
∴AE=DE．
在△ABE与△DFE中，
∵∠BAD=∠FDE，AE=DE，∠BEA=∠FED，
∴△ABE≌△DFE．
（2）A类：
证明：∵△ABE≌△DFE，
∴∠ABE=∠BFC，BE=EF，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∴∠FBC=∠BFC，
∴△BCF是等腰三角形，
∴CE⊥BF；
B类：
证明：∵△ABE≌△DFE，
∴DF=AB，
又∵CD=AB，
∴CF=2CD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠FCE．
又∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴∠FCE=∠DEC，
∴DE=CD，
又∵AE=DE，
∴BC=2CD，
∴CF=BC，
又∵CE平分∠BCD，
∴CE⊥BF．

点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识．此题综合性比较强，属于中等难度的题目．解题的关键是注意特殊图形性质的应用．