Question

如图所示，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AO，BO交于M、N，求证：（1）BM=CN；（2）BM⊥CN．

Answer 1

证明：（1）∵MN∥AB，
∴∠OMN=∠OAB，∠ONM=∠OBA
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA
∴∠OMN=∠ONM，
∴OM=ON
∴AM=OA-OM=OB-ON=BN，
在△ABM和△BCN中，，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴BM=CN．

（2）由△ABM≌△BCN得，∠ABM=∠BCN，
又∵∠ABM+∠CBM=90°，
∴∠BCN+∠CBM=90°，
∴CN⊥BM．
分析：（1）根据平行线的性质求出∠OMN=∠ONM=∠OAB=∠OBA=45°，AM=BN，进而求证△ABM≌△BCN，得到BM=CN；
（2）因为∠ABM+∠CBM=90°，所以∠BCN+∠CBM=90°，BM⊥CN．
点评：考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质求证判定三角形全等是解决本题的关键．