Question

如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，过点C作CA₁⊥AB，垂足为A₁，再过A₁作A₁C₁⊥BC，垂足为C₁；过C₁作C₁A₂⊥AB，垂足为A₂，再过A₂作A₂C₂⊥BC，垂足为C₂；…，这样一直做下去，得到了一组线段CA₁，A₁C₁，C₁A₂，…，则第1条线段A₁C=________，第2n条线段A_nC_n=________．

Answer 1

    （）²ⁿ
分析：先根据勾股定理计算出AB=，易证得Rt△CAB∽Rt△A₁AC，利用相似比计算出A₁C=；再利用Rt△CAB∽Rt△C₁CA₁，计算出A₁C₁=（）²，
同理可得A₂C₂=（）⁴，A₃C₂=（）⁵，A₃C₃=（）⁶，由此可得到A_nC_n=（）²ⁿ．
解答：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴AB==，
∵CA₁⊥AB，
∴∠CA₁A=90°，
而∠CAB=∠A₁AC，
∴Rt△CAB∽Rt△A₁AC，
∴=，
∴A₁C=，
同理可证明Rt△CAB∽Rt△C₁CA₁，
∴=，即=，
∴A₁C₁=（）²，
同理可得A₂C₁=（）³，
A₂C₂=（）⁴，
A₃C₂=（）⁵，
A₃C₃=（）⁶，
∴A_nC_n=（）²ⁿ．
故答案为，（）²ⁿ．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理和规律型问题的解决方法．