Question

（2012•上城区二模）如图，已知直角三角形OAB的直角边OA在x轴上，双曲线y=

1

x

(x＞0)与直角边AB交于点C，与斜边OB交于点D，OD=

1

3

OB，则△OBC的面积为

4

．

Answer 1

分析：作DE⊥OA于E点，易得DE∥AB，根据三角形相似的判定得到Rt△OED∽Rt△OAB，则DE：AB=OE：OA=OD：OB，而OD=

1

3

OB，即OB=3OD，可得到AB=3DE，OA=3OE，设D点坐标为（a，

1

a

），则B点坐标为（3a，

3

a

），可分别得到A点坐标为（3a，0），C点坐标为（3a，

1

3a

），然后利用S_△OBC=

1

2

OA•BC进行计算即可．

解答：解：作DE⊥OA于E点，如图，
∵∠OAB=90°，
∴DE∥AB，
∴Rt△OED∽Rt△OAB，
∴DE：AB=OE：OA=OD：OB，
而OD=

1

3

OB，即OB=3OD，
∴AB=3DE，OA=3OE，
设D点坐标为（a，

1

a

），则B点坐标为（3a，

3

a

），
∴A点坐标为（3a，0），C点的横坐标为3a，
而C点在y=

1

x

的图象上，
把x=3a代入y=

1

x

得y=

1

3a

，
∴C点坐标为（3a，

1

3a

），
∴S_△OBC=

1

2

OA•BC=

1

2

•3a•（

3

a

-

1

3a

）=4．
故答案为4．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数的解析式；运用三角形相似的判定与性质得到线段之间关系．