Question

【题目】如图，在矩形中，是边的中点，沿对折矩形，使点落在处，折痕为，连接并延长交于点．

（1）求证：四边形为平行四边形；

（2）若矩形的边＝，＝，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由折叠的性质得到＝，与垂直，根据为中点，得到＝＝，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到为，进而得到与平行，再由与平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；

（2）过作，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，利用面积法求出的长，根据＝求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，根据求出的长，由与平行，得到三角形与三角形相似，由相似得比例求出的长，再由＝＝，求出三角形面积即可．

解：（1）由折叠得到＝，，

∵为的中点，

∴＝＝，

∴，

∴，

∵四边形是矩形，

∴，

∴四边形为平行四边形；

（2）过作，交于点，

在中，＝，＝，

根据勾股定理得：，

∵，

∴，

由折叠得：＝，

在中，＝，，

根据勾股定理得：，

∵四边形为平行四边形，

∴＝＝，＝＝，

∴＝，

∵，

∴，即，

解得：，

则．