Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）若直线l：线y＝﹣x+m与该抛物线交于D、E两点，如图．

①连接CD、CE、BE，当S△BCE＝3S△CDE时，求m的值；

②是否存在m的值，使得原点O关于直线l的对称点P刚好落在该抛物线上？如果存在，请直接写出m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+；（2）①，②存在，

【解析】

（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c转化为解方程组即可解决问题．

（2）①首先证明l∥BC，由S△BCE＝3S△CDE，推出BC＝3DE，推出直线l应该在BC的上方，在BC上取一点F，使得BC＝3BF，推出四边形BEDF是平行四边形，由C（0，），B（3，0），BC＝3BF，推出F（2，），设D（n，n+m），则E[n+1，（n+1）+m]，将它们代入抛物线的解析式，解方程组即可解决问题．

②如图2中，过点O作OM⊥BC交抛物线于M或M′．由题意直线l经过OM或OM′的中点，构建方程组求出点M，M′的坐标即可解决问题．

解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝﹣x2+bx+c可得：

，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+．

（2）①如图，

对于y＝﹣x2+x+，令x＝0，可得y＝，

∴C（0，），

∵B（3，0），

∴OC＝，OB＝3，

∴tan∠CBO＝，

∴∠CBO＝30°，

∵直线l：y＝﹣x+m与x轴交于N（m，0）与y轴交于M（0，m），

∴tan∠MNO＝＝，

∴∠NMO＝30°＝∠CBO，

∴l∥BC，

∵S△BCE＝3S△CDE，

∴BC＝3DE，

∴直线l应该在BC的上方，

在BC上取一点F，使得BC＝3BF，

∴BF＝DE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵C（0，），B（3，0），BC＝3BF，

∴F（2，），

设D（n，n+m），则E[n+1，﹣（n+1）+m]，将它们代入抛物线的解析式得到：

，

解得：，

∴m的值为．

②如图2中，过点O作OM⊥BC交抛物线于M或M′．

则直线OM的解析式为y＝x，

由，

解得：或，

∴M（，），M′（，），

由题意直线l经过OM或OM′的中点，

∴或，

解得：m＝．