Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，在AC的延长线上取点P，使∠CBP=

1

2

∠A．
（1）判断直线BP与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为1，tan∠CBP=0.5，求BC和BP的长．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可判定直线BP与⊙O相切，连接AN，因为AB是圆的直径，所以只有证明AB⊥BP即可；
（2）在Rt△ANB中，利用边角关系求出BN的长，进而求出BC，作CD⊥BP于D，则CD∥AB，所以△PDC∽△PBA，利用对应边的比值相等求出PC，再利用勾股定理求出DP，则BP=PD+BD可求出．

解答：解：（1）相切．
证明：连接AN，
∵AB是直径，
∴∠ANB=90°．
∵AB=AC，
∴∠BAN=

1

2

∠A=∠CBP．
又∵∠BAN+∠ABN=180°-∠ANB=90°，
∴∠CBP+∠ABN=90°，即AB⊥BP．
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BP与⊙O相切；

（2）∵在Rt△ABN中，AB=2，tan∠BAN=tan∠CBP=0.5，
可求得，BN=

2 5

5

，
∴BC=

4 5

5

，
作CD⊥BP于D，则CD∥AB，
∴

CP

AP

=

CD

AB

①，
在Rt△BCD中，易求得CD=

4

5

，BD=

8

5

，
代入①式，得

CP

CP+2

=

4 5

2

∴CP=

4

3

，
∴DP=

PC 2-CD 2

=

16

15

，
∴BP=BD+DP=

8

5

+

16

15

=

8

3

．

点评：此题考查了切线的性质和判定、相似三角形的性质以及解直角三角形等相关知识的综合应用，难度适中．