题目内容
半径分别为2、3的两圆⊙P、⊙Q外切于点B，AB、BC分别是它们的直径，点D在☉Q上，连接DA交⊙P于点E，连接BD、BE，BD正好平分∠CBE．（1）试说明：AD是⊙Q的切线
（2）试通过三角形相似求BE的长
（3）试求BD的长．
分析：（1）连接QD，推出∠QDB=∠QBD=∠EBD，推出QD∥BE，根据圆周角定理求出∠AEB=90°，推出QD⊥AD即可；
（2）根据平行得出△AEB∽△ADQ，得出比例式，代入求出BE即可；
（3）根据勾股定理求出AE，根据平行线分线段成比例定理求出DE，根据勾股定理求出BD即可．
（2）根据平行得出△AEB∽△ADQ，得出比例式，代入求出BE即可；
（3）根据勾股定理求出AE，根据平行线分线段成比例定理求出DE，根据勾股定理求出BD即可．
解答：（1）解：连接QD，
∵QD=QB，
∴∠QDB=∠QBD，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠QDB，
∴QD∥BE，
∵AB是⊙P的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠QDE=∠AEB=90°，
∴AD是⊙Q的切线．
（2）解：∵BE∥QD，
∴△AEB∽△ADQ，
∴
=
，
∴
=
，
∴BE=
．
（3）解：在△AEB中，由勾股定理得：AE=
=
，
∵BE∥QD，
∴
=
，
即
=
，
∴DE=
，
在△BED中，由勾股定理得：BD=
=
=
，
∴BD=
．
∵QD=QB，
∴∠QDB=∠QBD，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠QDB，
∴QD∥BE，
∵AB是⊙P的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠QDE=∠AEB=90°，
∴AD是⊙Q的切线．
（2）解：∵BE∥QD，
∴△AEB∽△ADQ，
∴
| BE |
| QD |
| AB |
| AQ |
∴
| BE |
| 3 |
| 2+2 |
| 2+2+3 |
∴BE=
| 12 |
| 7 |
（3）解：在△AEB中，由勾股定理得：AE=
| AB2-BE2 |
8
| ||
| 7 |
∵BE∥QD，
∴
| AE |
| DE |
| AB |
| BQ |
即
| ||||
| DE |
| 2+2 |
| 3 |
∴DE=
6
| ||
| 7 |
在△BED中，由勾股定理得：BD=
| DE2+BE2 |
(
|
6
| ||
| 7 |
∴BD=
| 6 |
| 7 |
| 14 |
点评：本题考查了相切两圆的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，切线的判定等知识点的应用，主要检查学生能否熟练的运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性也比较强，难度适中．
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半径分别为13和15的两圆相交，且公共弦长为24，则两圆的圆心距为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
| C、14 | ||
| D、4或14 |
在一次数学实验探究课中，需要研究两个同心圆内有关线段的关系问题，某同学完成了以下部分记录单：
记录单 （单位：cm）
（1）请用计算器计算AB•AC的值，并填入上表的相应位置；
（2）对半径分别为R、r的两个同心圆，猜测AB•AC与R、r的关系式，并加以证明．
记录单 （单位：cm）
| 第一次 | 第二次 | 第三次 | |
| 图形 R=5 r=3 |
 |
 |
 |
| AB | 2.50 | 3.00 | 3.50 |
| AC | 6.40 | 5.33 | 4.57 |
| AB•AC |
（2）对半径分别为R、r的两个同心圆，猜测AB•AC与R、r的关系式，并加以证明．