Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，

∴，解得：，∴抛物线的解析式是：y=x²﹣x﹣4，

（2）分两种情况：

①当0＜t≤2时，∵PM∥OC，∴△AMP∽△AOC，

∴=，即=，∴PM=2t．

解方程x²﹣x﹣4=0，得x₁=﹣2，x₂=4，

∵A（﹣2，0），∴B（4，0），∴AB=4﹣（﹣2）=6．

∵AH=AB﹣BH=6﹣t，

∴S=PM•AH=×2t（6﹣t）=﹣t²+6t=﹣（t﹣3）²+9，

当t=2时S的最大值为8；

②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，则△COB∽△CFP，

又∵CO=OB，

∴FP=FC=t﹣2，PM=4﹣（t﹣2）=6﹣t，AH=4+（t﹣2）=t+1，

∴S=PM•AH=（6﹣t）（t+1）=﹣t²+4t+3=﹣（t﹣）²+，

当t=时，S最大值为．

综上所述，点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是S=，S的最大值为．