Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，点D是OB延长线上的一点，且∠DCB=30°，连接CD．请你判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明．

Answer 1

答：直线CD与⊙O相切；
证明：连接CO，
∵∠A=30°，
∴∠COB=60°，
∵CO=BO，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，
又∵∠DCB=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°，
∴直线CD与⊙O相切．
分析：如图，连接CO，由于OC、OB是圆的半径，利用等边三角形的判定得到∠OCB=60°，可以得出∠BCD+∠OCB=90°，利用切线的判定方法即可解决问题．
点评：此题主要考查了切线的判定以及等边三角形的判定，其中要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．