Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆的直径DE=12cm．半圆以2cm/秒的速度从左向右运动，在运动过程中，直径DE始终在直线BC上．设运动时间为t（单位：秒），当t=0秒时，半圆在△ABC的左侧，OC=8cm．当半圆运动了________秒时，△ABC的边AB所在直线与半圆相切，此时，半圆面与△ABC重叠部分的面积为________cm²．

Answer 1

4    9π
分析：如图，设半圆与AB相切于点F，连接CF，则CF⊥AB，又∠ABC=30°，BC=12cm，所以，CF=BC=6cm，此时，圆心O与点C重合，半圆走了8cm，所以，t==4（秒），又∠ACB=90°，所以，半圆面与△ABC重叠部分的面积：S_重合=πr²=×36π=9π；
解答：如图，设半圆与AB相切于点F，连接CF，

∴CF⊥AB，又∠ABC=30°，BC=12cm，
∴CF=BC=6cm，
此时，圆心O与点C重合，半圆走了8cm，
∴t==4（秒），
又∵∠ACB=90°，
∴半圆面与△ABC重叠部分的面积：
S_重合=πr²=×36π=9π；
故答案为：4；9π．
点评：本题主要考查了切线的性质和扇形面积的计算，切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．