Question

【题目】如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当为等腰三角形时，则的长是_____________.

Answer 1

【答案】1或或

【解析】

过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF=CD；②DF=DC；③FD=FC，根据相似三角形的性质进行求解．

解：①CF=CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，

则CM∥AE，DM=MF，
延长CM交AD于点G，
∴AG=GD=1，
∵AG∥EC，AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴CE=AG=1，
∴当BE=1时，此时EF重合，△CDF是等腰三角形．

②DF=DC时，则DC=DF=1，

∵DF⊥AE，AD=2，
∴∠DAE=30°，
∴∠AEB=30°
则BE=
∴当BE=时，△CDF是等腰三角形；

③FD=FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．

∵AD∥BC∥FH，

∴AF=EF，

∴AD=DE
∴CE===，

∴BE=BC-CE=2-

∴当BE=2-时，△CDF是等腰三角形．
综上，当BE=1、、2-时，△CDF是等腰三角形．
故答案为：1或或．