Question

如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-4，0）两点，交y轴与C点.

(1)求该抛物线的解析式.
(2)在该抛物线位于第二象限的部分上是否存在点D，使得△DBC的面积S最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)设抛物线的顶点为点F,连接线段CF,连接直线BC,请问能否在直线BC上找到一个点M,在抛物线上找到一个点N,使得C、F、M、N四点组成的四边形为平行四边形,若存在，请写出点M和点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)；(2)存在，(-2，,6)；(3)存在，M₁（,3），N₁()；M₂（），N₂()；M₃（），N₃()；M₄（1,5），N₄().

试题分析：(1)根据交点式直接求解；
(2)设点D的坐标为(a,)，用a表示出△DBC的面积S，由二次函数的最值求出即可；
(3)根据平行四边形的判定，分类求解即可.
试题解析：(1)∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-4，0）两点，
∴抛物线解析式为.
(2)如图，设点D的坐标为(a,),过点D作平行于y轴的直线交直线BC于点E,
由C（0，4）、B（-4，0）可得直线BC:，∴点E（a,a+4）.
∴S=.
∴当a=-2时，S最大，点D的坐标为(-2，,6).

(3)存在，M₁（,3），N₁()；M₂（），N₂()；
M₃（），N₃()；M₄（1,5），N₄().