Question

点P在等腰Rt△ABC的斜边AB所在直线上，若记：k=AP²+BP²，则

1. A.
   满足条件k＜2CP²的点P有且只有一个
2. B.
   B满足条件k＜2CP²的点P有无数个
3. C.
   C满足条件k=2CP²的点P有有限个
4. D.
   对直线AB上的所有点P，都有k=2CP²

Answer 1

D
分析：此题分两种情况讨论：①当P在线段AB上，②当P在直线AB上（线段AB以外的部分）；可利用勾股定理来探讨符合要求的点P有哪些．
解答：当P为AB上时，假设P为中点时，AP=PB=PC，满足条件，
当点P不为中点时，过点C作AB的垂线，亦满足条件；
当点P在BA的延长线上时，过点P作PF⊥BC，PE⊥CA；
PC²=PF²+CF²，AP²=AE²+PE²=AE²+FC²=2CF²
PB²=BF²+PF²=PF²+（BC+CF）²=2PF²
AP²+PB²=2CF²+PF²+PF²
2PC²=2PF²+2CF²
所以AP²+PB²=2PC²，
即k=2CP²；
同理，当点P在AB的延长线上时，k=2CP²．
综上可知：k=2CP²．
故选D．
点评：此题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面．