题目内容
点P在等腰Rt△ABC的斜边AB所在直线上，若记：k=AP2+BP2，则（ ）
| A．满足条件k＜2CP2的点P有且只有一个 |
| B．B满足条件k＜2CP2的点P有无数个 |
| C．C满足条件k=2CP2的点P有有限个 |
| D．对直线AB上的所有点P，都有k=2CP2 |
当P为AB上时，假设P为中点时，AP=PB=PC，满足条件，
当点P不为中点时，过点C作AB的垂线，亦满足条件；
当点P在BA的延长线上时，过点P作PF⊥BC，PE⊥CA；
PC2=PF2+CF2，AP2=AE2+PE2=AE2+FC2=2CF2
PB2=BF2+PF2=PF2+（BC+CF）2=2PF2
AP2+PB2=2CF2+PF2+PF2
2PC2=2PF2+2CF2
所以AP2+PB2=2PC2，
即k=2CP2；
同理，当点P在AB的延长线上时，k=2CP2．
综上可知：k=2CP2．
故选D．
当点P不为中点时，过点C作AB的垂线，亦满足条件；
当点P在BA的延长线上时，过点P作PF⊥BC，PE⊥CA；
PC2=PF2+CF2，AP2=AE2+PE2=AE2+FC2=2CF2
PB2=BF2+PF2=PF2+（BC+CF）2=2PF2
AP2+PB2=2CF2+PF2+PF2
2PC2=2PF2+2CF2
所以AP2+PB2=2PC2，
即k=2CP2；
同理，当点P在AB的延长线上时，k=2CP2．
综上可知：k=2CP2．
故选D．
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