Question

（2013•衡水二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，过点C作CC₁⊥AB于C₁，过点C₁作C₁C₂⊥AC于C₂，过点C₂作C₂C₃⊥AB于C₃…，按此作法进行下去，则

CnCn+1

CnCn-1

=

2 5

5

（其中n≥2）．

Answer 1

分析：先在△ABC中由勾股定理求出AB=

5

，根据正弦函数的定义得出sinB=

AC

AB

=

2

5

=

2 5

5

，然后依次在△BC₁C、△C₂C₁C、△C₃C₂C₁、△C₄C₃C₂中，求出

C1C

CB

=sinB=

2 5

5

；

C1C2

C1C

=sinB=

2 5

5

；

C2C3

C2C1

=sinB=

2 5

5

；

C3C4

C3C2

=sinB=

2 5

5

；同理可得

CnCn+1

CnCn-1

=sinB=

2 5

5

．

解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB=

BC2+AC2

=

12+22

=

5

，
∴sinB=

AC

AB

=

2

5

=

2 5

5

．
在△BC₁C中，∵∠BC₁C=90°，
∴sinB=

C1C

CB

=

2 5

5

；
在△C₂C₁C中，∵∠C₁C₂C=90°，
∠C₁CC₂=90°-∠BCC₁=∠B，
∴sin∠C₁CC₂=sinB=

C1C2

C1C

=

2 5

5

；
在△C₃C₂C₁中，∵∠C₂C₃C₁=90°，C₁C₂∥BC，
∴∠C₃C₁C₂=∠B，
∴sin∠C₃C₁C₂=sinB=

C2C3

C2C1

=

2 5

5

；
在△C₄C₃C₂中，∵∠C₃C₄C₂=90°，
∠C₄C₂C₃=90°-∠A=∠B，
∴sin∠C₄C₂C₃=sinB=

C3C4

C3C2

=

2 5

5

；
同理可得

CnCn+1

CnCn-1

=sinB=

2 5

5

．
故答案为

2 5

5

．

点评：本题主要考查勾股定理，锐角三角函数，平行线、垂线的性质等知识点，关键在于熟练运用三角函数的定义得出sinB=

2 5

5

，然后总结出规律．