Question

已知四边形ABCD内接于⊙O，分别延长AB和DC相交于点P，，AB=12，CD=6，PB=8，则⊙O的面积为________．

Answer 1

45π
分析：由切割线定理求出PC，证△PCB∽△PAD得到比例式求出AD，根据AD、AB、CD、BC的长度推出AC是直径，求出∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC即可．
解答：解：由切割线定理得：PB×PA=PC×PD，
∴8×（8+12）=PC×（PC+6），
∴PC=10，
连接AC，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠PCB=∠PAD，
∵∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAD，
∴=，
∵弧BC=弧CD，
∴BC=CD=6，
∵PC=10，PA=8+12，
∴=，
∴AD=12=AB，
∴弧AB=弧AD，
∵弧BC=弧CD，
∴弧ABC=弧ADC，
∴AC是圆的直径，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC==6，
∴圆O的半径是3，面积是π•=45π，
故答案为：45π．
点评：本题主要考查对圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能推出AC是直径是解此题的关键．