题目内容

观察下列等式：12+（1×2）2+22=9=（12+1+1）2，22+（2×3）2+32=49=（22+2+1）2，32+（3×4）2+42=169=（32+3+1）2，42+（4×5）2+52=441=（42+4+1）2，52+（5×6）2+62=961=（52+5+1）2，…
（1）根据以上运算，你发现了什么规律，用含有n（n为正整数）的等式表示该规律；
（2）请用分解因式的知识说明你发现的规律的正确性．
（1）规律：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=（n2+n+1）2；

（2）说明：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2
=n2+n2（n+1）2+（n+1）2
=n2（1+n2+2n+1）+（n+1）2
=n2[n2+2（n+1）]+（n+1）2
=n4+2n2（n+1）+（n+1）2
=（n2+n+1）2．
练习册系列答案
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22、观察下列等式：12-02①，22-12②，32-22③，42-32④，…
（1）按此规律猜想出第⑦个算式；
（2）请用含自然数n的等式表示这种规律．
观察下列等式：
1
2
+1
=
1×(
2
-1)
(
2
+1)(
2
-1)
=
2
-1
2-1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
1×(
3
-
2
)
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
=
3
-
2
3-2
=
3
-
2
，
同理可得：
1
4
+
3
=
4
-
3
，…
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…
1
2002
+
2001
）（
2002
+1）的值．
（2012•珠海）观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×
275
275
=
572
572
×25；
②
63
63
×396=693×
36
36
．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
（2012•市南区模拟）观察下列等式：
①12=1；
②2+3+4=32；
③3+4+5+6+7=52；
④4+5+6+7+8+9+10=72
请你根据观察得到的规律判断式子1006+1007+1008+…+3016=
20112
20112
．
观察下列等式：
1
2×3
=
1
2
-
1
3

1
3×4
=
1
3
-
1
4

…
（1）猜想：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
（2）直接写出下列各式的结果：
①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2009×2010
=
2009
2010
2009
2010
．
②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1
．

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