Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax²+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：
（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；
（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；
（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据四边形OABC是矩形，A（3，0），C（0，1）求出B′的坐标，设直线BB′的解析式为y=mx+n，利用待定系数法即可求出此直线的解析式，进而可得出M、N两点的坐标，设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式；
（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；
（3）由于抛物线移动的方向不能确定，故应分三种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴B（3，1），
根据题意，得B′（-1，3）
把B（3，1），B′（-1，3）代入y=mx+n中，

3m+n=1 -m+n=3

，
解得

m=- 1 2 n= 5 2

∴m=-

1

2

，n=

5

2

∴此一次函数的解析式为：y=-

1

2

x+

5

2

，
∴N（0，

5

2

），M（5，0）
设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
把C′（-1，0），N（0，

5

2

），M（5，0）代入得：

a-b+c=0 c= 5 2 25a+5b+c=0

，
解得

a=- 1 2 b=2 c= 5 2

，
∴二次函数的解析式为y=-

1

2

x²+2x+

5

2

；

（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，
∵O、P关于直线MN对称，
∴OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，
∵N（0，

5

2

），M（5，0），
∴MN=

ON2+OM2

=

( 5 2 )2+52

=

5 5

2

，OE=

ON×OM

MN

=

5 2 ×5

5 5 2

=

5

，
∴OP=2OE=2

5

，
∴OP=

x2+y2

=2

5

①，
PM=

(5-x)2+y2

=5②，
①②联立，解得

x=2 y=4

，
把x=2代入二次函数的解析式y=-

1

2

x²+2x+

5

2

得，y=

9

2

，
∴点P不在此二次函数的图象上；

（3）①在上下方向上平移时，根据开口大小不变，对称轴不变，
所以，二次项系数和一次项系数不变，
根据它过原点，把（0，0）这个点代入得常数项为0，
新解析式就为：y=-

1

2

x²+2x；
②在左右方向平移时，开口大小不变，二次项系数不变，为-

1

2

，
这时根据已经求出的C′（-1，0），M（5，0），可知它与X轴的两个交点的距离还是为6，
所以有两种情况，向左移5个单位，此时M与原点重合，另一点经过（-6，0），
代入解出解析式为y=-

1

2

x²-3x；
③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合，此时另一点过（6，0），
所以解出解析式为y=-

1

2

x²+3x．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，二次函数图象的几何变换等相关知识，在解③时要应用分类讨论的思想进行解答．