Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD分别与BC、⊙O交于E、D．
（1）求证：

AB

BE

=

AC

CE

；
（2）若BA=BC=1，且E是AD的中点，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）连接DB，根据AD平分∠BAC可得出∠DAC=∠DAB，进而可得出△DBE∽△DAB，△DBE∽△CAE，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答；
（2）根据△DBE∽△DAB可得出BD²=DE•DA=2DE²求出CE、BE的值，再由（1）得

AB

BE

=

AC

CE

即可得出结论．

解答：证明：（1）连接DB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，
∴∠DBE=∠DAC=∠DAB，且∠D=∠D，
∴△DBE∽△DAB，
∴

BE

AB

=

DE

DB

，
又∵△DBE∽△CAE，

DE

DB

=

CE

AC

，
∴

BE

AB

=

CE

AC

，即

AB

BE

=

AC

CE

；


（2）解：∵△DBE∽△DAB，
∴

BE

AB

=

BD

AB

=

DE

BD

，
∴BD²=DE•DA=2DE²，
∴BD=

2

DE，
∴

BE

AB

=

1

2

，且BA=1，
∴BE=

2

2

，CE=1-

2

2

．
由（1）得

AB

BE

=

AC

CE

，
∴AC=

2

-1．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及圆周角定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质进行解答．