Question

【题目】已知，如图，EB是的直径，且，在BE的延长线上取点P，使，A是EP上一点，过A作的切线，切点为D，过D作于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于当点A在EP上运动，不与E重合时：

是否总有，试证明你的结论；

设，，求y和x的函数关系，并写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)有，理由见解析；(2)

【解析】

(1) 连接BD，先证△DFB≌△DHB，由此可得△BFH是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可证得BD⊥FH，而BD⊥DE，则FH∥DE，由此得证．

(2) 由于BH=BF，可用y表示出EF的值，进而在Rt△DEB中，根据射影定理得到y、x的函数关系式；当A、P重合时，连接OD，则OD⊥PH，根据平行线分线段成比例，可求得BH的长，进而可得到BF、EF的值，然后由射影定理即可求得DE的长，求得x的取值范围．

解：(1)无论点A在EP上怎么移动点A不与点E重合，

总有，证明如下：

连接DB，交FH于G，如下图所示：

是的切线，．

又，BE为直径，

．有．

在和中，

，，

，，

∴≌．

∴

∴是等腰三角形．

∴，即．

，

．

故答案为：总有成立.

(2)，，，，

，

又是斜边上的高，

∽，

，

即．即，

，

当A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，

这时，连接OD，如下图所示：

则，

．

又，，

，即：，

，．

由，

得：，

，，

，

故答案为：所求函数关系式为