Question

【题目】如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是优弧BD上的一个动点（不与点B、D重合）．

（1）当圆心O在∠BAD内部，∠ABO+∠ADO=50°时，∠A =　 　°；

（2）当圆心O在∠BAD内部，四边形OBCD为平行四边形时，求∠C的度数；

（3）当圆心O在∠BAD外部，四边形OBCD为平行四边形时，请直接写出∠ABO与∠ADO的数量关系．

Answer 1

【答案】⑴500；（2）1200；（3）|∠ABO﹣∠ADO|=60°

【解析】

（1）连接OA，如图1，根据等腰三角形的性质得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠BAD=∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=50°；

（2）根据平行四边形的性质得∠BOD=∠BCD，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠BAD，则∠BCD=2∠BAD，然后根据圆内接四边形的性质由∠BCD+∠BAD =180°，易计算出∠BAD的度数，从而得出结论；

（3）讨论：当∠OAB比∠ODA小时，如图2，与（1）一样∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠OAD﹣∠OAB=∠ADO﹣∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，所以∠ADO﹣∠ABO=60°；当∠OAB比∠ODA大时，用样方法得到∠ABO﹣∠ADO=60°．

（1）连接OA，如图1．

∵OA=OB，OA=OD．

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=50°；

（2）∵四边形OBCD为平行四边形，∴∠BOD=∠BCD．

∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BCD=2∠BAD．

∵∠BCD+∠BAD =180°，即3∠BAD =180°，∴∠BAD =60°，∴∠C=180°-60°=120°；

（3）当∠OAB比∠ODA小时，如图2．

∵OA=OB，OA=OD．

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，∴∠OAD﹣∠OAB=∠ADO﹣∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，∴∠ADO﹣∠ABO=60°；

当∠OAB比∠ODA大时，同理可得∠ABO﹣∠ADO=60°．

综上所述：|∠ABO﹣∠ADO|=60°．