Question

如图1，已知二次函数y=ax²-8ax+12（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点P在抛物线的对称轴上，且四边形ABPC为平行四边形．
（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的解析式；
（2）点M为x轴下方抛物线上一点，若△OMP的面积为36，求点M的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征,平行四边形的性质

专题：计算题

分析：（1）利用二次函数的性质可得对称轴为直线x=4，则PC=4，再根据平行四边形的性质得PC=AB=4，然后利用抛物线的对称性可得A（2，0），B（6，0），然后把把点 A（2，0）代入得y=ax²-8ax+12求出a=1，所以二次函数解析式为y=x²-8x+12；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，设M（m，x²-8x+12），其中2＜m＜6，作MN⊥y轴于N，如图2，利用S_梯形CPMN-S_△OCP-S_△OMN=S_△OPM得到

1

2

（4+m）（12-m²+8m-12）-

1

2

×4×12-

1

2

m（-m²+8m-12）=36，化简得：m²-11m+30=0，然后解方程求出m即可得到点M的坐标．

解答：解：（1）对称轴为直线x=-

-8a

2a

=4，则PC=4，
∵四边形ABPC为平行四边形，
∴PC∥AB，PC=AB，
∴PC=AB=4，
∴A（2，0），B（6，0），
把点 A（2，0）代入得y=ax²-8ax+12得4a-16a+12=0，解得a=1，
∴二次函数解析式为y=x²-8x+12；
（2）设M（m，x²-8x+12），其中2＜m＜6，
作MN⊥y轴于N，如图2，
∵S_梯形CPMN-S_△OCP-S_△OMN=S_△OPM，
∴

1

2

（4+m）（12-m²+8m-12）-

1

2

×4×12-

1

2

m（-m²+8m-12）=36，
化简得：m²-11m+30=0，解得m₁=5，m₂=6，
∴点M的坐标为（5，-3）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．