Question

证明与计算．
如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BC，证明∠ACD=∠ABC；
（3）若AB=12cm，∠ABC=60°，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据切线与圆的关系和直角三角形内角之间的关系，可以推出AC平分∠DAB；
（2）在Rt△ACD和Rt△ABC中，根据（1）中证得∠DAC=∠BAC，可得∠ACD=∠ABC；
（3）根据∠ABC=60°，可得∠ACD=60°，已知AB=12cm，可求得AC的长度，继而求出CD．

解答：解：（1）证明：连接OC，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
即AC平分∠DAB；
（2）在Rt△ACD和Rt△ABC中，
∵∠DAC=∠OAC，
∴∠ACD=∠ABC；
（3）∵∠ABC=60°，
∴∠ACD=60°，
∵AB=12cm，
∴CB=6cm，
则AC=

AB2-BC2

=6

3

cm，
∵∠DCA=60°，
∴CD=

1

2

AC=3

3

cm．

点评：本题考查了切线的性质，解答本题的关键利用切线的性质，平行线的判定和性质等知识解决问题．