Question

已知一元二次方程kx²+x+1=0
（1）当它有两个实数根时，求k的取值范围；
（2）问：k为何值时，原方程的两实数根的平方和为3？

Answer 1

分析：（1）用一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，因为是一元二次方程，所以k≠0．（2）利用根与系数的关系写出两根和与两根积，代入两根的平方和为3的等式中求出k值．

解答：解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△=1-4k≥0且k≠0．
故k≤

1

4

且k≠0．

（2）设方程的两根分别是x₁和x₂，则：
x₁+x₂=-

1

k

，x₁x₂=

1

k

，
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，
=

1

k2

-

2

k

=3，
整理得：3k²+2k-1=0，
（3k-1）（k+1）=0，
∴k₁=

1

3

，k₂=-1．
∵k≤

1

4

且k≠0，
∴k=

1

3

（舍去）．
故k=-1．

点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，（1）题用判别式求出k的范围，因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0．（2）根据根与系数的关系，用k的式子表示两根的和与两根的积，然后代入两根的平方和等于3的等式，求出k的值，对不在取值范围内的值要舍去．