Question

【题目】如图，已知⊙O半径为3，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为点F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长与圆交于点G，连接EG．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若AD=DP，求的长度；

（3）若tanC，求线段EG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）EG=

【解析】

（1）连接OD，如图1，先证明∠ADO＝∠DAF得到OD∥AF，然后根据平行线的性质判断DF⊥OD，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先证明∠P＝∠DAF＝∠DAB，然后根据三角形内角和计算出∠P＝30°，从而得到∠POD＝60°，然后根据弧长公式计算；

（3）如图，连接GD，根据tanC，设GD=，CD=，由勾股定理列出方程求出GD 与CD，再由垂径定理得出DE，在Rt△GED中，利用勾股定理即可求出EG的长度．

（1）证明：连接OD，如图1，

∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∵∠DAF＝∠DAB，
∴∠ADO＝∠DAF，
∴OD∥AF，
又∵DF⊥AF，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线；

（2）∵AD＝DP
∴∠P＝∠DAF＝∠DAB，
而∠P＋∠DAF＋∠DAB＝90°，
∴∠P＝30°，
∴∠POD＝60°，

又∵半径为3，

∴的长度，

（3）如图，连接GD，

∵CG是直径，半径为3，

∴∠CDG=90°，CG=6，

∵tanC，即

∴设GD=，CD=（a＞0）

在Rt△CGD中，由勾股定理可得：，

即，解得：或a=-2（舍去）

∴GD=4，CD=，

又∵AB⊥CD，

∴DE=CE=

在Rt△GED中，EG=，

∴EG=．