题目内容
【题目】△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．
（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．
①求证：△AEB≌△ADC；
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；
（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；
（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．
【答案】（1）①见解析，②四边形BCGE是平行四边形，见解析；（2）①②都成立；（3）当CD＝CB （∠CAD＝30°或∠BAD＝90°或∠ADC＝30°）时，四边形BCGE是菱形，见解析.
【解析】
（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝60°，然后求出∠BAE＝∠CAD，再利用“边角边”证明△AEB和△ADC全等；②四边形BCGE是平行四边形，因为△AEB≌△ADC，所以可得∠ABE＝∠C＝60°，进而证明∠ABE＝∠BAC，则可得到EB∥GC又EG∥BC，所以四边形BCGE是平行四边形；
（2）根据（1）的思路解答即可．（3）当CD＝CB时，四边形BCGE是菱形，由（1）可知△AEB≌△ADC，可得BE＝CD，再证明BE＝CB，即邻边相等的平行四边形是菱形．
证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°．
又∵∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠EAB＝∠DAC，
∴△AEB≌△ADC（SAS）．
②方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE＝∠C＝60°．
又∵∠BAC＝∠C＝60°，
∴∠ABE＝∠BAC，
∴EB∥GC．
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．
方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG＝AB＝BC．
∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．
（2）①②都成立．
（3）当CD＝CB （∠CAD＝30°或∠BAD＝90°或∠ADC＝30°）时，四边形BCGE是菱形．
理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE＝CD
又∵CD＝CB，
∴BE＝CB．
由②得四边形BCGE是平行四边形，
∴四边形BCGE是菱形．
方法二：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE＝CD．
又∵四边形BCGE是菱形，
∴BE＝CB
∴CD＝CB．
方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，
∴BE∥CG，EG∥BC，
∴∠FBE＝∠BAC＝60°，∠F＝∠ABC＝60°
∴∠F＝∠FBE＝60°，∴△BEF是等边三角形．
又∵AB＝BC，四边形BCGE是菱形，
∴AB＝BE＝BF，
∴AE⊥FG
∴∠EAG＝30°，
∵∠EAD＝60°，
∴∠CAD＝30°．
