Question

【题目】如图，是的外接圆，且，延长至点，使得，点是上的一个动点，连结，，．

（1）当时，求证：；

（2）若，则：

①求的半径；

②当为直角三角形时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②或．

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠ABC=∠E，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB，等量代换证明结论；

（2）①连接AO并延长交BC于F，连接OC，根据垂径定理得到AF⊥BC，根据等腰三角形的性质求出CF，根据勾股定理求出AF，根据勾股定理列式计算即可；

②分∠ABD=90°、∠BAD=90°两种情况，根据勾股定理计算，得到答案．

解：（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴．

（2）①连接并延长交于点，连接．

∵，，

∴，

∵，

∴，

在中，，由勾股定理得：，

设半径为，则，

由勾股定理，得：，

解得：．

②当运动到过圆时，，

∴AD=，

∴．

当运动到过圆时，，

∴BD=，

∴．