Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM 的中点．

(1)求证：四边形MENF是菱形；

(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：(1)证明：∵四边形ABCD为等腰梯形．

    ∴AB=CD．∠A=∠D．

    ∵AM为AD中点．      ∴AM=DM．

    ∴△ABM≌△DCM．     ∴BM=CM.

    ∵E，F．N分别为MB，CM，BC中点．

   

∴EN=FN=ME=MF，

∴四边形ENFM是菱形．

(2)结论：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半．

证明：连接MN

    ∵BM=CM，BN=NC，∵MN⊥BC, ∵AD∥BC

    ∴MN⊥AD  ， MN是梯形ABCD的高．

    又已知四边形MENF是正方形。

    ∴△BMC为直角三角形． 

    又∵N是BC的中点，    ∴